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科技日报实习记者 都芃

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对于研究数论的人来说,或许存在两个宇宙。朗道-西格尔零点存在于其中一个宇宙中,而在一个宇宙中,朗道-西格尔零点则不存在。让他们感到困惑的在于,人类究竟处于哪个宇宙之中?

关于这个问题,美国加州大学圣塔芭芭拉分校教授、美籍华裔数学家张益唐前不久给出了他的初步答案,我们极有可能处于不存在朗道-西格尔零点的那个宇宙中。近日,在面向北京大学师生和公众的线上学术报告会上,张益唐分享了他关于朗道-西格尔零点猜想的最新研究成果。

朗道-西格尔零点猜想的“前世今生”究竟如何?如果张益唐的最新研究成果通过验证,对数学界将产生哪些影响?就这些问题,科技日报记者采访了相关专家。

从素数到广义黎曼猜想

要理解朗道-西格尔零点猜想,还要从素数开始讲起。素数也称质数,是指只能被自身和1整除的正整数。

中国科学技术大学副研究员、知名科普专家袁岚峰向科技日报记者介绍,素数可以被理解为是构成自然数的基本单元。袁岚峰认为:“素数有一种关乎数学本质的、奇妙且神秘的美感。”

公元前300年左右,古希腊学者欧几里得通过十分简洁、巧妙的方法证明了素数是无穷的。

在这个发现之后,人们又不禁发问,既然素数是无穷的,那么素数的分布是否有规律,是否可以得出一个关于素数的通项公式?这成为了此后数千年间无数伟大的数学家,尤其是数论研究者魂牵梦绕的问题。在追寻这一问题答案的过程中,诞生了如哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、黎曼猜想等诸多举世闻名的数学相关问题。

19世纪中叶,德国数学家黎曼在一篇论文中发表了重磅观点,即素数分布的奥秘完全隐藏在一个特殊的函数中,这就是著名的黎曼ζ函数。使这个函数取值为0的一系列特殊点会对素数的分布规律产生决定性影响。这些点便被称为黎曼ζ函数的非平凡零点。如果用最简洁的语言来表述黎曼猜想,那便是黎曼ζ函数的所有非平凡零点的实部都等于1/2。如果在复平面上作图,则这些零点都分布在实部为1/2的直线上。

黎曼猜想被提出后,为了研究等差数列上的素数分布问题,德国数学家狄利克雷又引入了狄利克雷L函数。该函数被看作是黎曼ζ函数的推广形式。数学家们认为,狄利克雷L函数上的零点也都位于实部等于1/2的那条直线上,这便是广义黎曼猜想。广义黎曼猜想和黎曼猜想在数学中都具有重要价值。袁岚峰表示,目前人们已经在假定它们成立的前提下证明了许多命题。假如能证实这两个猜想,人类将能站上更高的平台,看到更美丽、广阔的数学风景。

或迈出证明“零点猜想”正确性的一大步

德国数学家西格尔和其导师朗道在对狄利克雷L函数进行研究时发现,一个异常零点可能并不存在于那条实部为1/2的直线上,而是位于非常接近1的地方。这个零点也被命名为朗道-西格尔零点。如果这个零点真的存在,那么广义黎曼猜想将会被推翻。虽然广义黎曼猜想目前尚未得到证明,但数学家们大多默认其正确性。因此猜测朗道-西格尔零点不存在,这就是朗道-西格尔零点猜想。而证明朗道-西格尔零点并不存在,也成了包括张益唐在内的诸多数学家的夙愿。

根据张益唐的自述,他自上世纪末便开始思考朗道-西格尔零点猜想,并在2007年时发表过一篇相关论文,但那篇论文并不完美。在今年10月中旬,张益唐在北京大学大纽约地区校友会上透露,他本质上解决了朗道-西格尔零点猜想问题,当即引发数学界轰动。在近日举行的线上报告会正式开始前,张益唐谨慎地表示,他此次的研究成果“只是在一定范围里部分地解决黎曼假设应该是对的。”之所以这样说,是因为张益唐并没有完全证明朗道-西格尔零点猜想,但已经在证明其正确性的路上迈出了一大步。

在张益唐给出的两个证明定理中,一个定理的指数是-2024。但是,如果要完全证明朗道-西格尔零点猜想,理想情况该指数应该是-1。当报告会中有学生问道,2024可以进一步缩小到多少时,张益唐坦言:“很多步骤还可以更精细,到几百是可以的。但如果要到1,仅用目前这个办法是不够的。”

袁岚峰表示:“2024和1是量的区别,无限和2024是质的区别。由原本一个不知道是否无限的数,确定为一个有限的数,相比过去的证明结果,这次的证明在一定程度上可以说是质的飞跃。”

山东大学教授刘建亚也认为,自20世纪30年代以来,朗道-西格尔零点猜想的研究便几乎没有出现实质性的突破。如果此次张益唐的证明通过验证,或将在一定程度上改写解析数论的教科书。

将反证法用到极致且不断创新

张益唐此次采用的论证方法是数学中经典的“矛盾证明法”,也称为“反证法”。根据张益唐的博士生、加拿大女王大学数学与统计学博士后阮大卫的描述,张益唐首先是假设朗道-西格尔零点以弱形式存在,推导后发现这会导致狄利克雷L函数中的其他零点以非常规则的间距排列起来。但实际上,这些零点的分布并不具备这样的规律,连续零点之间的间距是不可预测的。因此,反过来证明了朗道-西格尔零点在这个区间内不存在。袁岚峰表示,虽然反证法已是数学中极为经典的方法,但张益唐将其应用到了极致。

反证法虽是人人都能理解的基础方法,但这次证明的过程是难以想象的艰深。张益唐将其比喻为大海捞针,“我试了很多方法,包括变分法、积分方程等,但关键一步都跨不过去。后来我发现,即使捞不到这根针,我也已经把海底环境摸索清楚了,也不一定非得捞到这根针。”

袁岚峰认为,这里说的“针”是指传统证明方法中需要的某个数列。“以前找到这样一个数列便能构造出某种矛盾,用反证法证明某类问题。张益唐证明孪生素数猜想的相关结果,用的就是这种方法。但这次对于朗道-西格尔零点猜想的证明,他发现这种传统方法并不适用,无论如何都找不到这样的一根‘针’。但他在大量研究后发现,有许多个数列都能达到同等的较弱的效果,于是他利用这个事实构造出矛盾,应用反证法解决了问题,这也就是为什么他说‘不一定非得捞到这根针’。”袁岚峰说。

张益唐认为,经典方法是否有效,取决于能否将它用到极致。袁岚峰表示,此前的许多数论研究都以朗道-西格尔零点不存在为前提假设,假如这次张益唐能够在一定范围内证明朗道-西格尔零点猜想的正确,将会使得许多研究的假设性结果变为确定性结果。

张益唐本人则表示,目前的研究成果只是在小范围内证明朗道-西格尔零点猜想是对的,即该零点确实不存在。但研究还需进一步完善,下一步他将继续深化对于朗道-西格尔零点猜想的研究。